Derivadas Implícitas

3.- Sistemas de funciones Implícitas.

Una función esta denotada en forma explícitas cuando la variable dependiente, que por lo general es "y" esta despejada. Por lo contrario si no esta despejada da a entender que esta denotada de forma implícita.

A conticuación se muestran algunas casos de funciones expresadas implicitamente:

Estas representan una ecuación no resuelta para y, por consecuente se denomina funcion implícita de la variable x. Entonces en este caso se tiene la ecuación:

que significa un sistema de ecuaciones reales con variables, entonces:

es decir:

De tal manera sin haber conocido la manera explicita de las funciones incógnitas las diferenciales totales resolviendo el sistema de ecuaciones lineales . Seria de la siguiente manera:

Todas las determinantes de este tipo, con respecto a las variables se llaman Determinante Funcional Jacobiano.

Otros ejemplos:

" Cuando una ecuación se escribe en la forma f(x,y)= 0 se dice que y es función implícita de x.

Entonces:

La ecuación: xy + x - 2y -1 = 0, siendo x diferente a 2. Para hallar la derivada de y se puede seguir uno de los procedimientos que se detallan a continuación:

a) Despejar "y", y derivar con respecto a "x". este se evita al menos que sea una ecuación muy sencilla.

b) se deriva la ecuación con respecto a "x", pero hay que tener en cuenta que "y" es funcion de "x"

Ejemplo:

Dado el sistema de ecuaciones:

luego se verifica si hay funciones implícitas de y(x) y z(x) en el punto (2,2,2) y calcula:

mediante el teorema de funciones implícitas.

En este problema empezamos con las dos ecuaciones con tres variables, luego se trataría de analizar si este sistema define implícitamente dos variables en función de una tercera, en algún entorno de un punto.

Llamemos y apliquemos el teorema

2. Las funciones F1 y F2 son de clase 1 (existen sus derivadas parciales y son continuas) por ser funciones polinómicas. En concreto, sus derivadas parciales son:

3. El siguiente suele ser distinto a cero

En el punto (2, 2, 2), dicho menor vale






Por otra parte debemos calcular la primera derivada de estas funciones implícitas para x= 2

En consecuencia, se verifican las condiciones del teorema y podemos afirmar que existen y = y(x) y z = z(x), en algún entorno del punto (2, 2, 2).
Por otra parte, hemos de calcular la primera derivada de estas funciones implícitas para x = 2. Para ello, derivamos las relaciones con respecto a x, teniendo en cuenta que las variables y y z también dependen de x, con lo cual hemos de aplicar la regla de la cadena:

Sustituyendo las derivadas parciales de F1 y F2 obtenidas anteriormente, para el punto (2,2,2) llegamos al siguiente sistema: